Chaque carte cache un objectif du cours. Touche une carte pour la retourner et découvrir son résumé. ✨
✨ D'autres cartes seront partagées prochainement…Continuité et théorème des valeurs intermédiaires, fonction réciproque, convexité et points d'inflexion, plan d'étude complet d'une fonction.
Les asymptotes
Si $\lim\limits_{x\to a} f(x)=\pm\infty$, alors la droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale à $(C_f)$.
Si $\lim\limits_{x\to\pm\infty} f(x)=b$, alors la droite d'équation $y=b$ est une asymptote horizontale à $(C_f)$ au voisinage de $\pm\infty$.
Si $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\big[f(x)-(ax+b)\big]=0$, alors la droite d'équation $y=ax+b$ est une asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $\pm\infty$.
Limite infinie en $\pm\infty$ : l'arbre magique
On calcule $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}$
$=\pm\infty$Branche parabolique de direction l'axe des ordonnées
$=0$Branche parabolique de direction l'axe des abscisses
$=\pm\infty$Branche parabolique de direction la droite $y=ax$
Position de la courbe et d'une droite $(D) : y=ax+b$
On étudie le signe de $f(x)-(ax+b)$ :
$>0$ : $(C_f)$ est au-dessus de $(D)$ ;
$<0$ : $(C_f)$ est en dessous de $(D)$ ;
$=0$ : $(C_f)$ et $(D)$ se coupent.
Réflexe : commence toujours par les limites aux bornes du domaine. Une limite infinie en un réel $a$ donne une asymptote verticale ; une limite infinie en $\pm\infty$ lance l'arbre magique.
Dérivabilité en un point
$f$ est dérivable en $a$ si $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell$ avec $\ell\in\mathbb{R}$. On note $f'(a)=\ell$ : c'est le coefficient directeur de la tangente.
Équation de la tangente
La tangente à $(C_f)$ au point d'abscisse $a$ : $\quad (T) : y=f'(a)(x-a)+f(a)$
Si $f'(a)=0$ : la tangente est horizontale, d'équation $y=f(a)$.
Demi-tangente verticale à gauche, dirigée vers le haut
Approximation affine
Pour $h$ proche de $0$ : $\quad f(a+h)\approx f(a)+h\,f'(a)$
Piège classique : une limite infinie du taux de variation ne donne pas une « tangente infinie » mais une demi-tangente verticale : $f$ n'est alors pas dérivable en $a$.
Binôme $ax+b$ $(a\neq0)$
Il s'annule en $x_0=-\dfrac{b}{a}$ : signe contraire de $a$ avant $x_0$, signe de $a$ après.
Trinôme $ax^2+bx+c$ $(a\neq0)$
On calcule le discriminant : $\quad\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ : deux racines $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$, et $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.
Si $\Delta=0$ : une racine double $x_0=-\dfrac{b}{2a}$, et $ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2$ : signe de $a$ partout, nul en $x_0$.
Si $\Delta<0$ : pas de racine réelle : signe de $a$ sur tout $\mathbb{R}$.
À retenir : le trinôme a le signe de $a$ partout, sauf entre ses racines.
Produit ou quotient
On fait un tableau avec une ligne par facteur, puis on applique la règle des signes. Pour un quotient, une double barre $\|$ sous les valeurs qui annulent le dénominateur.
Exemple : signe de $f(x)=\dfrac{(x-1)(x+2)}{x-3}$, définie pour $x\neq3$.
Astuces de magicien : si $a+b+c=0$, les racines sont $1$ et $\dfrac{c}{a}$ ; si $a-b+c=0$, elles sont $-1$ et $-\dfrac{c}{a}$. Pas besoin de $\Delta$ !
Dérivées usuelles
Fonction $f(x)$
Dérivée $f'(x)$
Sur
$k$ (constante)
$0$
$\mathbb{R}$
$x$
$1$
$\mathbb{R}$
$x^n\ (n\in\mathbb{N}^*)$
$n\,x^{n-1}$
$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x}$
$-\dfrac{1}{x^2}$
$\mathbb{R}^*$
$\sqrt{x}$
$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$]0;+\infty[$
$x^r\ (r\in\mathbb{Q}^*)$
$r\,x^{r-1}$
$]0;+\infty[$
$\sin x$
$\cos x$
$\mathbb{R}$
$\cos x$
$-\sin x$
$\mathbb{R}$
$\ln x$
$\dfrac{1}{x}$
$]0;+\infty[$
$e^x$
$e^x$
$\mathbb{R}$
Opérations
Fonction
Dérivée
$u+v$
$u'+v'$
$k\,u$
$k\,u'$
$u\times v$
$u'v+uv'$
$\dfrac{1}{v}$
$-\dfrac{v'}{v^2}$
$\dfrac{u}{v}$
$\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
$u^n\ (n\in\mathbb{Z}^*)$
$n\,u'\,u^{n-1}$
$\sqrt{u}$
$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
$v\circ u$
$u'\times(v'\circ u)$
$\ln u$ et $\ln|u|$
$\dfrac{u'}{u}$
$e^{u}$
$u'\,e^{u}$
Dérivée de la fonction réciproque
Si $f$ est dérivable en $x_0$ avec $f'(x_0)\neq0$ et $y_0=f(x_0)$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $y_0$ et $\quad\left(f^{-1}\right)'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)}$
Si $f'$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum en $x_0$.
Les lignes en rouge (ln et exponentielle) seront travaillées en détail dans le chapitre « Fonctions ln et exp ». Garde-les déjà en tête : elles tombent à chaque national !
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