Les expressions toujours positives

À voir en premier

Avant toute étude de signe, on repère les expressions dont le signe est connu : $A \geq 0, A^{2} \geq 0, ∣ A ∣ \geq 0,$ $x^{2} + a > 0 si a > 0.$ On choisit bien l’expression à étudier : on ne garde que les facteurs dont le signe change.

1^er degré : $a x + b$ ( $a \neq = 0$ )

(sg = signe de)

2^e degré : $a x^{2} + b x + c$

On calcule $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

$Δ > 0$ : deux racines $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ ;
$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .
$Δ = 0$ : racine double $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ ;
$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{0})^{2}$ .
$Δ < 0$ : pas de racine, pas de factorisation.

$Δ = 0$ : signe de $a$ (nul en $x_{0}$ ) $Δ < 0$ : signe de $a$ .

Astuce du prof

Si $a$ et $c$ sont de signes contraires, alors $Δ > 0$ (car $- 4 a c > 0$ ).
Racines évidentes : si $a + b + c = 0$ , alors $1$ est racine et l’autre est $\frac{c}{a}$ ; si $a - b + c = 0$ , alors $- 1$ est racine et l’autre est $- \frac{c}{a}$ .

Factoriser un polynôme de degré 3

Racine évidente + division euclidienne

Si $P (β) = 0$ , alors $P (x) = (x - β) Q (x)$ avec $de g Q = 2$ .
On trouve $Q$ par la division euclidienne de $P (x)$ par $(x - β)$ (ou par identification).

Exemple

$P (x) = x^{3} - 3 x + 2$ : $P (1) = 0$ . On divise par $x - 1$ :

Donc $P (x) = (x - 1) (x^{2} + x - 2) = (x - 1)^{2} (x + 2)$ .

Identités remarquables

À connaître par cœur

$a^{2} - b^{2} a^{3} - b^{3} a^{3} + b^{3} (a \pm b)^{3} = (a - b) (a + b) = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}$

Signe d’un produit ou d’un quotient

Méthode

Factoriser au maximum.
Écarter les facteurs de signe connu.
Une ligne par facteur, puis la règle des signes.
Double barre $∥$ pour les valeurs interdites.

Exemple

Signe de $q (x) = \frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{2}}$ : on étudie seulement $x (x - 2)$ car $(x - 1)^{2} > 0$ .

Racines : la quantité conjuguée

Propriété

Pour lever une indétermination ou étudier un signe : $A - B = \frac{A - B ^{2}}{A + B}, A - B = \frac{A - B}{A + B}$ $3 A - B = \frac{A - B ^{3}}{3 A ^{2} + B 3 A + B ^{2}}$

Astuce : comparer deux racines

Les fonctions $t \mapsto t$ et $t \mapsto n t$ sont strictement croissantes sur $[0; + \infty [$ : $A - B a le signe de A - B .$ De même $3 A - 3 B$ a le signe de $A - B$ .

Équations et inéquations irrationnelles

Propriété

$A = B A \leq B A \geq B ⟺ B \geq 0 et A = B^{2} ⟺ A \geq 0, B \geq 0, A \leq B^{2} ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ B < 0 et A \geq 0 ou B \geq 0 et A \geq B^{2}$

Changement de variable

Pour $x - 3 x + 2 = 0$ on pose $t = x (t \geq 0)$ :
$t^{2} - 3 t + 2 = 0 ⟺ t = 1$ ou $t = 2$ (deux valeurs $\geq 0$ ),
puis $x = t^{2}$ : $S = {1; 4}$ .

Racine $n$ -ième

Définition

Pour $x \geq 0$ et $n \in N^{*}$ : $n x$ est l’unique réel $y \geq 0$ tel que $y^{n} = x$ .
Au programme : $n x$ n’est définie que pour $x \geq 0$ .
Pour $a, b \geq 0$ : $n a = n b ⟺ a = b$
$n a < n b ⟺ a < b$
$x^{n} = a$ ( $a > 0$ ) : $x = n a$ si $n$ impair ; $x = \pm n a$ si $n$ pair.

Signe d’une fonction grâce aux variations

Deux situations classiques au Bac

Extremum : si $f$ admet un minimum $m \geq 0$ , alors $f (x) \geq 0$ pour tout $x$ .
Racine $α$ : si $f$ est strictement croissante sur $I$ et $f (α) = 0$ :

(et l’inverse si $f$ est strictement décroissante).